公務員考試行測數量關系——表面切面問題
發(fā)布時間：2015-11-15 14:47:41 來源：一佳公務員考試網 點擊量：
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表面問題是指立體圖形外表面的求解問題，而切面問題是指立體圖形的內切面的求解問題，它們均屬于面積問題的空間化。
【例1】（2010年4•25聯考）
將邊長為1的正方體一刀切割為2個多面體，其表面積之和最大為（ ）。
【一佳名師解析】此題答案為A。切割成2個多面體后，表面積之和會等于原來正方體的外表面加上2倍的切面，由于原來正方體的外表面為6，那么現在關鍵是求出最大的切面面積。切面有多種切法，如下圖所示：
有兩類切法，第一類是平行切（相對于棱邊），第二類是非平行切，其中第1種和第2種是平行切，顯然第1種的切面大于第2種（高度一樣，但對角線最長），至于第3種切法和第2種切法的比較則相對比較困難，因為它們的邊長及高都不相同，但是注意到第3種切法中，邊長的縮短速度要大于高的增長速度（邊長是線性縮短，高是根號縮短），因此無論怎么變化，第3種切面均小于第1種，故最大的切面面積為第1種，即
，因此答案為A。
【變1】（2011年國考）
用一個平面將一個邊長為1的正四面體切分為兩個完全相同的部分，則切面的最大面積為（ ）。
【一佳名師解析】此題答案為B，估算法可解。由題目提供的信息，可以畫出如下的圖形：
顯然，我們可以按部就班地把切面面積算出來，但過程相對繁瑣，注意到切面面積肯定會小于任一個側面面積（極端化考慮，即把E點移動到B點或C點，很明顯在AD長度不變的情況下，只有AED的高是最短的，于是其面積自然會小于側面面積），容易求得邊長是1的正三角形（即側面）的面積是
，于是我們需要選一個稍微小于它的答案，因此答案為B。
核心提示：多面體的最大切面往往是沿其中一個面的對角線方向切入。
【例2】（2007年國考）
現有邊長1米的一個木質正方體，已知將其放入水里，將有0.6米浸入水中。如果將其分割成邊長0.25米的小正方體，并將所有的小正方體都放入水中，直接和水接觸的表面積總量為（ ）。
A．3.4平方米 B．9.6平方米
C．13.6平方米 D．16平方米
【一佳名師解析】此題答案為C，因子法可解。由物理學中的浮力定理，只要物體密度相同，那么相似的物體浸入水中的體積會成一定比例。由于分割的小正方體與原來的大正方體完全相似，故直接與水接觸的表面積也會和原來大正方體直接和水接觸的表面積成一定比例，而原來的大正方體直接和水接觸的表面積為0.6×1×4＋1×1＝3.4平方米，那么由倍數法則，所有小正方體的直接和水接觸的表面積必定含有3.4的因子，排除選項B和D；顯然，所有小正方體的直接和水接觸的表面積肯定會大于原來的表面積3.4，因此答案為C。
【變2】（2007年廣東）
一個長方體的長、寬、高恰好是三個連續(xù)的自然數，并且它的體積數值等于它的所有棱長之和的2倍，那么這個長方體的表面積是（ ）。
A．74 B．148
C．150 D．154
【一佳名師解析】此題答案為B，方程法可解。設長方體的長、寬、高分別為X＋1、X、X－1，于是長、寬、高之和為3X，所有棱長之和為4×3X＝12X，體積為X(X2－1)，根據題意，有X(X2－1)＝2×12X，解得X＝5，那么長、寬、高分別是6、5、4，由于長方體有3對面，于是它的表面積之和為2×(6×5＋6×4＋5×4)＝148，因此答案為B。
核心提示：六面體是最常考的多面體，考生需要熟悉它的面和棱的關系，即六面體有3對面，有4對棱。
【例1】（2010年4•25聯考）
將邊長為1的正方體一刀切割為2個多面體，其表面積之和最大為（ ）。
【一佳名師解析】此題答案為A。切割成2個多面體后，表面積之和會等于原來正方體的外表面加上2倍的切面，由于原來正方體的外表面為6，那么現在關鍵是求出最大的切面面積。切面有多種切法，如下圖所示：
，因此答案為A。【變1】（2011年國考）
用一個平面將一個邊長為1的正四面體切分為兩個完全相同的部分，則切面的最大面積為（ ）。
【一佳名師解析】此題答案為B，估算法可解。由題目提供的信息，可以畫出如下的圖形：
，于是我們需要選一個稍微小于它的答案，因此答案為B。核心提示：多面體的最大切面往往是沿其中一個面的對角線方向切入。
【例2】（2007年國考）
現有邊長1米的一個木質正方體，已知將其放入水里，將有0.6米浸入水中。如果將其分割成邊長0.25米的小正方體，并將所有的小正方體都放入水中，直接和水接觸的表面積總量為（ ）。
A．3.4平方米 B．9.6平方米
C．13.6平方米 D．16平方米
【一佳名師解析】此題答案為C，因子法可解。由物理學中的浮力定理，只要物體密度相同，那么相似的物體浸入水中的體積會成一定比例。由于分割的小正方體與原來的大正方體完全相似，故直接與水接觸的表面積也會和原來大正方體直接和水接觸的表面積成一定比例，而原來的大正方體直接和水接觸的表面積為0.6×1×4＋1×1＝3.4平方米，那么由倍數法則，所有小正方體的直接和水接觸的表面積必定含有3.4的因子，排除選項B和D；顯然，所有小正方體的直接和水接觸的表面積肯定會大于原來的表面積3.4，因此答案為C。
【變2】（2007年廣東）
一個長方體的長、寬、高恰好是三個連續(xù)的自然數，并且它的體積數值等于它的所有棱長之和的2倍，那么這個長方體的表面積是（ ）。
A．74 B．148
C．150 D．154
【一佳名師解析】此題答案為B，方程法可解。設長方體的長、寬、高分別為X＋1、X、X－1，于是長、寬、高之和為3X，所有棱長之和為4×3X＝12X，體積為X(X2－1)，根據題意，有X(X2－1)＝2×12X，解得X＝5，那么長、寬、高分別是6、5、4，由于長方體有3對面，于是它的表面積之和為2×(6×5＋6×4＋5×4)＝148，因此答案為B。
核心提示：六面體是最常考的多面體，考生需要熟悉它的面和棱的關系，即六面體有3對面，有4對棱。
責編:一佳教育
