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公務(wù)員考試行測(cè)數(shù)量關(guān)系——體積問題

發(fā)布時(shí)間：2015-11-20 11:55:32 來(lái)源：一佳公務(wù)員考試網(wǎng) 點(diǎn)擊量： │ 我要分享
體積問題一般是多面體、柱體、錐體和球體的體積求解問題，行測(cè)考試中大部分都集中在正多面體和柱體的體積求解。除了掌握它們的體積求解公式，考生還需要掌握一些一般性規(guī)律，這在下面的題目中體現(xiàn)。
【例1】（2012年國(guó)考）
連接正方體每個(gè)面的中心構(gòu)成一個(gè)正八面體（如下圖所示）。己知正方體的邊長(zhǎng)為6厘米，問正八面體的體積為多少立方厘米？ 
 
A．182                      B．242 
C．36                        D．72
【一佳名師解析】此題答案為C。由于正八面體是由兩個(gè)錐體構(gòu)成的，于是我們可以先求出一個(gè)錐體的體積，如上半部分的錐體體積。顯然，上半部分的錐體底面是一個(gè)正方形，其對(duì)角線是外面正方體的邊長(zhǎng)，即6厘米，那么底面積為6×＝18平方厘米，而高只有外面正方體邊長(zhǎng)的一半，即3厘米，那么由錐體的體積計(jì)算公式，可以得到上半部分的體積為18×＝18立方厘米，于是正八面體的體積是18×2＝36立方厘米，因此答案為C。
【變1】（2009年北京）
在一只底面半徑是20cm的圓柱形小桶里，有一半徑為10cm的圓柱形鋼材浸沒在水中，當(dāng)鋼材從桶中取出后，桶里的水下降了3cm。求這段鋼材的長(zhǎng)度（   ）。
A．3cm                      B．6cm 
C．12cm                    D．18cm
【一佳名師解析】此題答案為C。由于鋼材是“浸沒”在水中，而前后水的體積是不變的，由題意知鋼材的體積為π×202×3＝1200π，那么鋼材的長(zhǎng)度為＝12cm，因此答案為C。
    核心提示：所有的多面體都可以分解成錐體和柱體的組合，因此錐體和柱體的體積公式考生一定要非常熟悉。
 
【例2】（2011年浙江）
已知一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為10分米、8分米和6分米，先從它上面切下一個(gè)最大的正方體，然后再?gòu)氖Ｏ碌牟糠稚锨邢乱粋�(gè)最大的正方體。問切除這兩個(gè)正方體后，最后剩下部分的體積是多少？
A．212立方分米             B．200立方分米     
C．194立方分米             D．186立方分米
【一佳名師解析】此題答案為B。由于在長(zhǎng)方體上切最大的正方體依據(jù)的是長(zhǎng)方體最短的那條邊，因此第一個(gè)切去的正方體的邊長(zhǎng)為6分米，切下這個(gè)正方體后，剩下的長(zhǎng)方體的三個(gè)邊長(zhǎng)分別變?yōu)?分米、8分米、6分米，那么切下的第二個(gè)正方體的邊長(zhǎng)為4分米，由于最后剩下的部分的體積等于原來(lái)長(zhǎng)方體的體積減去切去的兩個(gè)正方體的體積，即10×8×6－63－43＝200立方分米，因此答案為B。
【變2】（2004年國(guó)考）
一個(gè)邊長(zhǎng)為8的正立方體，由若干個(gè)邊長(zhǎng)為1的正立方體組成，現(xiàn)在要將大立方體表面涂漆，請(qǐng)問一共有多少個(gè)小立方體被涂上了顏色？
A．296                      B．324 
C．328                      D．384
【一佳名師解析】此題答案為A。從表面上看，這道題與體積無(wú)關(guān)，但是仔細(xì)考慮一下，其實(shí)和上題有幾分相似，上題中的關(guān)系是“整體體積＝切除體積＋剩下體積”，而此題中隱含了一個(gè)這樣的關(guān)系：“所有小立方體個(gè)數(shù)＝被涂上顏色的小立方體個(gè)數(shù)＋沒被涂上顏色的小立方體個(gè)數(shù)”，顯然，所有小立方體的個(gè)數(shù)為83＝512個(gè)，而沒被涂上顏色的小立方體個(gè)數(shù)為63＝216個(gè)，所以被涂上顏色的小立方體個(gè)數(shù)為512－216＝296個(gè)，因此答案為A。
    核心提示：整體思維和互補(bǔ)思維在數(shù)學(xué)運(yùn)算中經(jīng)常用到，即在關(guān)系A(chǔ)＋B＝C中，如果問題是求A，但A由于各種原因很難直接求解，而B和C都比較容易求解，此時(shí)我們通過求B和C來(lái)間接得到A，通常C需要從整體上考慮。
【例3】（2008年國(guó)考）
相同表面積的四面體，六面體，正十二面體以及正二十面體，其中體積最大的是（   ）。
A．四面體                      B．六面體  
C．正十二面體               D．正二十面體
【一佳名師解析】此題答案為D。正多面體的極限是圓球，顯然，球形物體對(duì)空間的利用率要比方形物體的要高（你可以想一下為什么水瓶或水壺很少有方形的，可不僅僅是為了美觀），故在表面積相同的情況下越接近圓球的正多面體其體積就越大，因此答案為D。
【變3】相同體積的四面體，六面體，正十二面體以及正二十面體，其中表面積最大的是（   ）。
A．四面體                      B．六面體  
C．正十二面體               D．正二十面體
【一佳名師解析】此題答案為A。由于“在表面積相同的情況下越接近于球的多面體的體積越大”，那么反過來(lái)，“在體積相同的情況下越不接近于球的表面積越大”，這其實(shí)就是一個(gè)規(guī)律用兩句不同的話說(shuō)出來(lái)而已，所以這種逆向的思維考生也一定要好好掌握，因此答案為A。
    核心提示：在幾何問題中，有一個(gè)規(guī)律考生一定要清楚：1、在所有平面圖形中，當(dāng)周長(zhǎng)相同的情況下圓的面積最大；2、在所有立體圖形中，當(dāng)表面積相同的情況下球的體積最大。
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